边界元法

边界元法

‌边界元法（Boundary Element Method，简称‌BEM）是一种数值方法，继‌有限元法之后发展起来，用于解决各种物理问题。这种方法的主要特点是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法显著减少了计算量和数据准备的工作量，因为它只需要在边界上进行离散化，而不是在整个求解域内进行。这种方法特别适用于处理无界区域问题，如势流等无限区域问题，因为它允许使用基本解来满足无穷远处的边界条件。‌边界元法的基本思想是将微分方程相应的基本解作为权函数，应用加权余量法并应用格林函数导出联系解域中待求函数值与边界上的函数值与法向导数值之间关系的积分方程。通过令积分方程在边界上成立，获得边界积分方程，这些方程表述了函数值和法向导数值在边界上的积分关系。然后利用有限元的离散化思想，把边界离散化，建立边界元代数方程组，求解后可获得边界上全部节点的函数值和法向导数值。最后，将全部边界值代入积分方程中，即可获得内点函数值的计算表达式，它可以表示成边界节点值的线性组合。‌尽管边界元法具有许多优点，如降低计算维度、方便处理无界区域问题、通常具有较高的精度等，但它也有一些局限性。例如，处理非线性问题时可能会遇到困难，因为非线性项对应的区域积分在奇异点附近有强烈的奇异性。此外，边界元方程组的系数矩阵是不对称的满阵，这限制了其应用范围。总的来说，边界元法是一种强大的数值工具，特别适用于处理某些特定的物理问题，如声学、流体力学、固体力学等领域的复杂问题。