求导法则

求导法则

‌求导法则是‌微积分中的基本概念，用于描述函数值随自变量变化的速率。以下是几种常见的求导法则：常数求导：对于任意常数c，其导数为0，即 ddx(c)=0\frac{d}{dx}(c) = 0dxd​(c)=0。幂函数求导：对于函数 f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn，其导数为 f′(x)=nx(n−1)f'(x) = nx^{(n-1)}f′(x)=nx(n−1)。‌指数函数求导：对于函数 f(x)=axf(x) = a^xf(x)=ax，其导数为 f′(x)=axln⁡(a)f'(x) = a^x \ln(a)f′(x)=axln(a)。‌对数函数求导：对于函数 f(x)=log⁡a(x)f(x) = \log_a(x)f(x)=loga​(x)，其导数为 f′(x)=1xln⁡(a)f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)}f′(x)=xln(a)1​。‌三角函数求导：正弦函数 f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x)f(x)=sin(x) 的导数为 f′(x)=cos⁡(x)f'(x) = \cos(x)f′(x)=cos(x)。余弦函数 f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x)f(x)=cos(x) 的导数为 f′(x)=−sin⁡(x)f'(x) = -\sin(x)f′(x)=−sin(x)。正切函数 f(x)=tan⁡(x)f(x) = \tan(x)f(x)=tan(x) 的导数为 f′(x)=sec⁡2(x)f'(x) = \sec^2(x)f′(x)=sec2(x)。余切函数 f(x)=cot⁡(x)f(x) = \cot(x)f(x)=cot(x) 的导数为 f′(x)=−csc⁡2(x)f'(x) = -\csc^2(x)f′(x)=−csc2(x)。‌反三角函数求导：反正弦函数 f(x)=arcsin⁡(x)f(x) = \arcsin(x)f(x)=arcsin(x) 的导数为 f′(x)=11−x2f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}f′(x)=1−x2​1​。反余弦函数 f(x)=arccos⁡(x)f(x) = \arccos(x)f(x)=arccos(x) 的导数为 f′(x)=−11−x2f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}f′(x)=−1−x2​1​。反正切函数 f(x)=arctan⁡(x)f(x) = \arctan(x)f(x)=arctan(x) 的导数为 f′(x)=11+x2f'(x) = \frac{1}{1+x^2}f′(x)=1+x21​。复合函数求导：对于复合函数 y=f(g(x))y = f(g(x))y=f(g(x))，其导数为 y′=f′(g(x))⋅g′(x)y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)y′=f′(g(x))⋅g′(x)，即链式法则。多项式求导：多项式函数的导数可以通过对每一项分别求导然后相加得到。例如，对于多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + df(x)=ax3+bx2+cx+d，其导数为 f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + cf′(x)=3ax2+2bx+c。这些求导法则在微积分中非常重要，它们帮助我们理解和分析函数的性质，如单调性、极值等。‌