ARCTAN求导等于什么

ARCTAN求导等于什么

arctan⁡(x)\arctan(x)arctan(x)的导数是 11+x2\frac{1}{1+x^2}1+x21​。 这个结论可以通过对arctan⁡(x)\arctan(x)arctan(x)进行求导得到。在求导过程中，首先将arctan⁡(x)\arctan(x)arctan(x)表示为y=arctan⁡(x)y = \arctan(x)y=arctan(x)，然后利用反函数的导数规则，即如果函数f(x)f(x)f(x)在区间内单调且可导，那么它的反函数f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)在相应的区间内也可导，且[f−1(x)]′=1f′(x)[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(x)}[f−1(x)]′=f′(x)1​。在这个例子中，x=tan⁡(y)x = \tan(y)x=tan(y)，对xxx求关于yyy的导数得到dydx=1cos⁡2(y)=1+tan⁡2(y)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2(y)} = 1 + \tan^2(y)dxdy​=cos2(y)1​=1+tan2(y)（因为tan⁡2(y)=sec⁡2(y)−1\tan^2(y) = \sec^2(y) - 1tan2(y)=sec2(y)−1）。然后，对xxx求关于yyy的导数的倒数，即dxdy=11+x2\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1 + x^2}dydx​=1+x21​。因此，根据反函数的导数规则，arctan⁡(x)\arctan(x)arctan(x)的导数为11+x2\frac{1}{1+x^2}1+x21​。‌