贝塔分布

贝塔分布

‌贝塔分布（Beta Distribution）是一个定义在(0,1)区间的连续概率分布，它在机器学习和数理统计学中有重要应用。它是‌伯努利分布和‌二项式分布的共轭先验分布。贝塔分布的概率密度函数由公式f(x;α,β)=1B(α,β)xα−1(1−x)β−1f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}f(x;α,β)=B(α,β)1​xα−1(1−x)β−1给出，其中形状由参数α\alphaα和β\betaβ确定。当α\alphaα和β\betaβ大于1时，贝塔分布呈钟形；当参数小于1时，分布在0或1附近呈现尖峰。贝塔分布的累积分布函数不具有封闭形式的表达式，通常通过数值积分或特殊函数来计算。贝塔分布的期望值和方差分别为E(X)=αα+βE(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}E(X)=α+βα​和Var(X)=αβ(α+β)2(α+β+1)Var(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}Var(X)=(α+β)2(α+β+1)αβ​。贝塔分布与‌均匀分布的关系体现在，当α=1\alpha=1α=1和β=1\beta=1β=1时，贝塔分布等同于区间上的均匀分布。‌在LaTeX中，贝塔分布的符号表示为Be(a,b)Be(a,b)Be(a,b)，其中aaa和bbb是形状参数。贝塔分布的公式推导涉及到Beta函数，这是一个在数学和统计学中重要的特殊函数，用于计算贝塔分布的概率密度函数。‌贝塔分布在各种领域都有广泛应用，尤其是在‌贝叶斯统计中，它用作二项分布参数的先验分布。此外，它也用于建模各种有界的随机过程和比例数据，例如，成功概率的不确定性、项目完成率等。‌